Tìm kiếm tài liệu miễn phí

Chuyên đề 4: Tích phân - Chủ đề 4.2

Chuyên đề 4: Tích phân - Chủ đề 4.2 tích phân trình bày các kiến thức cơ bản như định nghĩa, tính chất cơ bản về tích phân và một số bài tập kèm theo có đáp án chi tiết, mời các bạn cùng tham khảo!



Đánh giá tài liệu

4.7 Bạn chưa đánh giá, hãy đánh giá cho tài liệu này


Chuyên đề 4: Tích phân - Chủ đề 4.2 Chuyên đề 4: Tích phân - Chủ đề 4.2 Chuyên đề 4 Tích phân, Bài tập về tích phân, Ôn tập về tích phân, Định nghĩa của tích phân, Tính chất của tích phân, Tích phân của hàm số
4.7 5 78
  • 5 - Rất hữu ích 56

  • 4 - Tốt 22

  • 3 - Trung bình 0

  • 2 - Tạm chấp nhận 0

  • 1 - Không hữu ích 0

Mô tả

CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017

CHUYÊN ĐỀ 4 – TÍCH PHÂN

CHUYÊN ĐỀ 4. TÍCH PHÂN
Bài 2. TÍCH PHÂN
A - KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Định nghĩa
Cho f là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử F là một nguyên hàm của f trên [a; b]. Hiệu số
F (b) − F ( a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a; b] của hàm số
b

∫ f ( x)dx.

f ( x ) ) kí hiệu là

a

b

Ta dùng kí hiệu F ( x) a = F (b) − F (a ) để chỉ hiệu số F (b) − F ( a) .
b

b

∫ f ( x)dx = F ( x) a = F (b) − F (a ) .

Vậy

a
b

Nhận xét: Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bởi



b

f ( x)dx hay

a

∫ f (t )dt. Tích phân
a

đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số.
Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số f liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì tích phân
b

∫ f ( x)dx

là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x) , trục Ox và hai

a
b

đường thẳng x = a, x = b. Vậy S = ∫ f ( x )dx.
a

2. Tính chất của tích phân
a

1.



b

2.

f ( x)dx = 0

a



b

c

a

b

b

b
b

f ( x)dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx ( a < b < c ) 4.

a

5.


a

c

3.

a

f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx
b

∫ k. f ( x)dx = k.∫ f ( x)dx (k ∈ ℝ)
a

b

a

b

∫ [ f ( x) ± g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx .
a

a

a

B - KỸ NĂNG CƠ BẢN
Một số phương pháp tính tích phân
Dạng 1. Tính tích phân theo công thức
Ví dụ 1: Tính các tính phân sau:
1

dx
a) I = ∫
.
3
0 (1 + x )

1

x
b) I = ∫
dx .
x +1
0

1

2x + 9
c) I = ∫
dx .
x+3
0

1

x
dx .
2
0 4− x

d) I = ∫

Hướng dẫn giải
1

1

dx
d(1 + x)
1
=∫
=−
3
3
(1 + x )
(1 + x)
2(1 + x ) 2
0
0

a) I = ∫

1

0

3
= .
8

Chủ đề 4.2 – Tích phân
Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com

1|THBTN
Mã số tài liệu: BTN-CD4
BTN-

CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017
1

b) I = ∫
0

CHUYÊN ĐỀ 4 – TÍCH PHÂN

1

x
1 

1
dx = ∫  1 −
 dx = ( x − ln( x + 1) ) 0 = 1 − ln 2 .
x +1
x +1
0

1

1

1
2x + 9
3 

dx = ∫  2 +
 dx = ( 2 x + 3ln( x + 3) ) 0 = 3 + 6ln 2 − 3ln 3 .
x+3
x + 3
0
0

c) I = ∫

(

)

2
1
1
x
1 d 4− x
1
1 3
d) I = ∫
dx = − ∫
= − ln | 4 − x 2 | = − ln .
2
2
0
2 0 4− x
2
2 4
4− x
0
1

Bài tập áp dụng
1

1

1) I = ∫ x ( x − 1) dx .
3

4

2) I = ∫

5

0

0
1

(

)

2 x + 3 x + 1 dx .

16

3) I = ∫ x 1 − x dx .

dx

4) I = ∫

0

x+9 − x

0

.

Dạng 2. Dùng tính chất cận trung gian để tính tích phân
b

b

a

Sử dụng tính chất

b
a

a

∫ [ f ( x) + g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx

để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.

2

Ví dụ 2: Tính tích phân I = ∫ | x + 1| dx .
−2

Hướng dẫn giải
 x + 1,
− x − 1,

Nhận xét: x + 1 = 

−1 ≤ x ≤ 2
− 2 ≤ x < −1

2

−1

2

−2

−2

.

−1

Do đó I = ∫ | x + 1| dx = ∫ | x + 1| dx + ∫ | x + 1| dx
−1

−1

2

2

 x2

 x2

= − ∫ ( x + 1) dx + ∫ ( x + 1) dx = −  + x  +  + x  = 5
 2
 −2  2
 −1
−2
−1

Bài tập áp dụng
3

2

1) I = ∫ | x 2 − 4 | dx .

2) I = ∫ | x 3 − 2 x 2 − x + 2 | dx .

−4

−1

π
3

3) I = ∫ | 2 − 4 | dx .
x

4) I =

0

2

∫π 2 | sin x | dx .



π

5) I = ∫ 1 + cos 2 xdx .
0

2

Dạng 3. Phương pháp đổi biến số
1) Đổi biến số loại 1
Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử hàm số u = u ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn
[a; b] và α ≤ u ( x ) ≤ β . Giả sử có thể viết f ( x) = g (u ( x))u ′( x), x ∈ [a;b], với g liên tục trên
đoạn [α ; β ]. Khi đó, ta có
b

I = ∫ f ( x)dx =
a

u (b )



g (u )du.

u (a)

π
2

Ví dụ 3: Tính tích phân I = ∫ sin 2 x cos xdx .
0

Chủ đề 4.2 – Tích phân
Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com

2|THBTN
Mã số tài liệu: BTN-CD4
BTN-

CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017

CHUYÊN ĐỀ 4 – TÍCH PHÂN
Hướng dẫn giải

Đặt u = sin x. Ta có du = cos xdx. Đổi cận: x = 0 ⇒ u (0) = 0; x =

π 
⇒ u   = 1.
2
2

π

π
2

1

0

0

1

1
3

1
3

Khi đó I = ∫ sin 2 x cos xdx = ∫ u 2 du = u 3 = .
0

Bài tập áp dụng
1

1) I = ∫ x x + 1dx .
2

1

e

2) I = ∫ x x + 1dx .

0

0

e2

1 + ln x
dx .
x

3) I = ∫

3

1

4) I = ∫
e

dx
.
2 x 2 + ln x

Dấu hiệu nhận biết và cách tính tính phân

Dấu hiệu

Có thể đặt

Ví dụ
I=∫

3

x 3 dx
. Đặt t = x + 1
x +1

1



2

Có (ax + b) n dx

t = ax + b

I = ∫ x( x + 1) 2016 dx . Đặt t = x + 1

3

Có a f ( x ) dx

t = f ( x)

I =∫4

4



f ( x)dx

dx
và ln x
x

t=

f ( x)

0
1

0

e tan x +3
dx . Đặt t = tan x + 3
0 cos 2 x
e ln xdx
I =∫
. Đặt t = ln x + 1
1 x (ln x + 1)
π

t = ln x hoặc biểu thức
chứa ln x

t = e x hoặc biểu thức

I =∫

ln 2 2 x

e

3e x + 1dx . Đặt t = 3e x + 1

5

Có e dx

6

Có cos xdx

t = sin x

I = ∫ 2 sin 3 x cos xdx . Đặt t = sin x

7

Có sin xdx

t = cos x

I =∫

8

dx

cos 2 x

t = tan x

I =∫4

9



dx
sin 2 x

t = cot x

I = ∫π4

x

0

chứa e x

π

0

π

0

sin 3 x
dx Đặt t = 2cos x + 1
2cos x + 1

π

π

1
1
dx = ∫ 4 (1 + tan 2 x)
dx
0 cos 4 x
0
cos 2 x
Đặt t = tan x
π
6

π

ecot x
ecot x
dx = ∫π4
dx . Đặt t = cot x
1 − cos 2 x
2sin 2 x
6

2) Đổi biến số loại 2

Cho hàm số f ( x ) liên tục và có đạo hàm trên đoạn [ a; b]. Giả sử hàm số x = ϕ (t) có đạo hàm và
liên tục trên đoạn [α ; β ] sao cho ϕ (α ) = a,ϕ ( β ) = b và a ≤ ϕ (t ) ≤ b với mọ i t ∈[α ; β ]. Khi đó:
b



β

f ( x )dx = ∫ f (ϕ (t ))ϕ ′(t )dt.

a

α

Một số phương pháp đổi biến: Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng
π π
1. a 2 − x 2 : đặt x =| a | sin t; t ∈ − ; 


 2 2

|a|
 π π
; t ∈  − ;  \ {0}
sin t
 2 2

2.

x 2 − a 2 : đặt x =

3.

 π π
x 2 + a 2 : x = a tan t ; t ∈  − ; 
 2 2

Chủ đề 4.2 – Tích phân
Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com

3|THBTN
Mã số tài liệu: BTN-CD4
BTN-

CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017
a+x
hoặc
a−x

4.

CHUYÊN ĐỀ 4 – TÍCH PHÂN

a−x
: đặt x = a.cos 2t
a+x

Ví dụ 4: Tính các tích phân sau:
1

1

dx
.
2
0 1+ x

a) I = ∫ 1 − x 2 dx .

b) I = ∫

0

Hướng dẫn giải

a) Đặt x = sin t ta có dx = cos tdt. Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; x = 1 ⇒ t =
π
2

2

0

0

2

.

π

1

π

0

π

Vậy I = ∫ 1 − x 2 dx = ∫ cos t dt = ∫ cos tdt = sin t |02 = 1.
b) Đặt x = tan t , ta có dx = (1 + tan 2 t ) dt . Đổi cận: khi x = 0 ⇒ t = 0 ; khi x = 1 ⇒ t =

π
4

.

π
1

π

4
dx
π
4
= ∫ dt = t |0 = .
2
4
1+ x
0
0

Vậy I = ∫

Dạng 4. Phương pháp tính tích phân từng phần
Định lí : Nếu u = u ( x ) và v = v( x ) là hai hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn [a; b] thì
b

b

b

∫ u ( x)v′( x)dx = ( u( x)v( x) ) a − ∫ u′( x)v( x)dx ,
a

a

b

b

b

a

a

a

b
∫ udv = uv |a −∫ vdu . Các dạng cơ bản: Giả sử cần tính I = ∫ P( x).Q( x)dx

hay

Dạng
hàm

P ( x ) : Đa thức

sin ( kx )

Q ( x) : 
cos ( kx )


* u = P ( x)
* dv là Phần còn lại
Cách
của biểu thức dưới
đặt
dấu tích phân

P ( x ) : Đa thức
P ( x ) : Đa thức

P ( x ) : Đa thức

Q ( x ) : e kx

Q ( x ) : ln ( ax + b )

* u = P ( x)
* dv là Phần còn
lại của biểu thức
dưới dấu tích
phân

* u = ln ( ax + b )
* dv = P ( x ) dx

 1
 sin 2 x

Q ( x) : 
 1
 cos 2 x

* u = P ( x)
* dv là Phần còn lại
của biểu thức dưới
dấu tích phân

Thông thường nên chú ý: “Nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ”.
Ví dụ 5: Tính các tích phân sau:
π
2

a) I = ∫ x sin xdx.

1

e−1

b) I =

0

c) I = ∫ x ln (1 + x 2 ) dx

∫ x ln( x + 1)dx .
0

0

Hướng dẫn giải
u = x
 du = dx
⇒
.
 dv = sin xdx
v = − cos x

a) Đặt 

π
2

Do đó I = ∫ x sin xdx = ( − x cos x )
0

π
π
2
|0

2

π

2
+ ∫ cos xdx = 0 + sin x |0 = 1.
0

Chủ đề 4.2 – Tích phân
Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com

4|THBTN
Mã số tài liệu: BTN-CD4
BTN-

CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017

CHUYÊN ĐỀ 4 – TÍCH PHÂN

1

 du = x + 1 dx
u = ln( x + 1) 
b) Đặt 
⇒
2
dv = xdx
v = x − 1

2

e−1

I=


0

=

e −1

e−1


x2 − 1
1
e 2 − 2e + 2 1  x 2
x ln( x + 1)dx = ln( x + 1)
− ∫ ( x − 1)dx =
−  − x

2 0
2 0
2
2 2



e−1
0

e 2 − 2e e 2 − 4e + 3 e 2 − 3

=
.
2
4
4

2x

u = ln (1 + x 2 ) du = x 2 + 1 dx


c) Đặt 
⇒
.
dv = xdx
v = 1 ( x 2 + 1)



2
1

Ta có: I =

1

1

1 2
1
( x + 1) ln ( x 2 + 1) − ∫ xdx = ln 2 − 2 x 2 = ln 2 − 1 .
2
2
0
0
0

Bài tập áp dụng
π
1

1) I = ∫ (2 x + 2)e x dx .
0

2

2) I = ∫ 2 x.cos xdx .
0



3) I =


0

x
x 2 .sin dx .
2

Chủ đề 4.2 – Tích phân
Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com

1

4) I = ∫ ( x + 1)2 e 2 x dx .
0

5|THBTN
Mã số tài liệu: BTN-CD4
BTN-

Tài liệu cùng danh mục Trung học phổ thông

Thiết kế bài giảng địa lý 12 nâng cao tập 2 part 6

Tham khảo tài liệu 'thiết kế bài giảng địa lý 12 nâng cao tập 2 part 6', tài liệu phổ thông, vật lý phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả


Tuổi Xuân Hồng

Em nghe xuân về Từ trong đông lạnh Cựa mình kẽ nách Cành non nhú chồi Hơi gió heo may Sân trường áo ấm Nét nào tím đậm Tình thơ xuân về Sáng hồng mải mê Nhành cao chim hót Đường em đi học Mây xanh lững lờ Mùa xuân và thơ Trời cao và gió Chim, hoa và cỏ Tuổi hồng em mơ Một mùa xuân thắm Hân hoan mọi nhà Niềm vui lớn mãi Tuổi hồng hát ca . Tuổi Trăng Rằm Ngày Ấy - Trần Hoàng Vy Nhỏ tuổi trăng rằm ngày ấy ơi Mắt long lanh mộng một phương trời Lá...


KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

Kiến thức:  Biết sơ đồ tổng quát để khảo sát hàm số.  Biết các dạng đồ thị của các hàm số bậc ba, bậc bốn trùng phương, hàm phân thức y ax  b . a' x  b' Kĩ năng:  Biết cách khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số trong chương trình.  Biết cách tìm giao điểm của hai đồ thị.  Biết cách dùng đồ thị của hàm số để biện luận số nghiệm của một phương trình. Thái độ:  Rèn luyện tính cẩn thận, chính xác. Tư duy các vấn đề toán học một cách lôgic và...


lí thuyết chưng cất

Chưng cất là qua trình phân tách hỗn hợp lỏng (hoặc khí lỏng) thành các cấu tử riêng biệt dựa vào sự khác nhau về độ bay hơi của chúng ( hay nhiệt độ sôi khác nhau ở cùng áp suất), bằng cách lặp đi lặp lại nhiều lần quá trình bay hơi - ngưng tụ, trong đó vật chất đi từ pha lỏng vào pha hơi hoặc ngược lại.


Exercises Of Language Focus - Unit 11

Tham khảo tài liệu 'exercises of language focus - unit 11', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả


BÀI TẬP TỰ LUẬN MÔN VẬT LÝ LỚP 10 PHẦN TĨNH HỌC 1

Bài 201 Đầu C của một thanh nhẹ CB được gắn vào bức tường đứng thẳng, còn đầu B của thanh thì được treo vào một cái được treo vào một cái đinh O bằng dây OB sao cho thanh BC nằm ngang (CB = 2CO). Một vật A có khối lượng m = 5kg được treo vào B bằng dây BD. Hãy tính lực căng của dây OB và lực nén lên thanh BC. Bỏ qua khối lượng của thanh BC. Lấy g = 10m/s2.


Bài giảng điện tử môn hóa học: Ankadien

Anka đ ien là m ộ t lo ạ i hi đ rocacbon mà trong phân t ử có ch ứ a hai liên k ế t đ ôi C=C m ạ chh ở . ( di = hai, en = n ố i đ ôi, Ankadien, Dien hay Diolefin là tên gọi của các Hiđrôcacbon không no, mạch hở có 2 nối đôi trong liên kết phân tử. Công thức chung của dãy đồng đẳng Ankadien là...


Giáo án hay nhất 2012 Tuần 12:Tiết 24 §4 TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU THỨ HAI CỦA TAM GIÁC CẠNH – GÓC – CẠNH (C-G-C)

1. Mục tiêu: a. Kiến thức:Nắm được trường hợp bằng nhau Cạnh – Góc – Cạnh của tam giác b. Kĩ năng: Biết vẽ tam giác khi biết hai cạnh và góc xen giữa, biết cách trình bài toán chứng minh hình học c. Thái độ; Rèn tính cẩn thận, chính xác và khoa học 2. Chuẩn bị của GV và HS : a. GV: Giáo án, SGK, êke, thước đo độ, bảng phụ, phấn màu b. HS: SGK, êke, thước đo độ Phương pháp: o Đặt và giải quyết vấn đề, phát huy tính sáng tạo của HS. o...


Tài liệu ôn tập Vật lý 10 HK1 - THPT Trấn Biên

Tài liệu tham khảo Tài liệu ôn tập Vật lý 10 HK1 của trường THPT Trấn Biên giúp các bạn học sinh có thêm tư liệu ôn tập, luyện tập để nắm vững được những kiến thức cơ bản chuẩn bị cho kỳ kiểm tra đạt kết quả tốt hơn.


Ebook Hướng dẫn giải chi tiết bài tập trong cấu trúc đề thi môn Sinh học (tái bản lần thứ nhất, có sửa chữa bổ sung): Phần 2

Nối tiếp nội dung phần 1, phần 2 cuốn sách "Hướng dẫn giải chi tiết bài tập trong cấu trúc đề thi môn Sinh học" cung cấp cho người đọc đáp án các bộ đề thi và bài giải chi tiết cho các đề thi phần 1. Mời các bạn cùng tham khảo.


Tài liệu mới download

Giáo án lớp 5: Tuần 23
  • 07/10/2017
  • 44.350
  • 647

Từ khóa được quan tâm

Có thể bạn quan tâm

Tài liệu: Tiến hoá lớn
  • 17/08/2010
  • 59.247
  • 396
Bài tập ôn toán 10 HKI
  • 13/02/2011
  • 27.537
  • 909

Bộ sưu tập

Danh mục tài liệu